Título :	Sobre resultados de tipo anti-Ransey en grupos cíclicos de orden primo p para la ecuación de Schur
Autor(es):	José David Suárez González
Palabras clave:	Teoría anti-Ramsey Heterocromáticos Teorema de Schur
Fecha de publicación :	abr-2015
Editorial :	Universidad Autónoma de Querétaro
Facultad:	Facultad de Ingeniería
Programa académico:	Licenciatura en Matemáticas Aplicadas
Resumen:	Una k-coloración de un conjunto X es una partición de dicho conjunto en k subconjuntos; de manera más intuitiva podemos decir que una k-coloración es la asignación de k colores a los elementos de un conjunto, donde a cada elemento se le asigna exactamente un color. Dentro de la teoría de coloraciones existen dos tipos de conjuntos muy especiales: los conjuntos monocromáticos¿aquellos con todos sus elementos del mismo color¿, y los conjuntos heterocromáticos¿ aquellos en los cuales todos sus elementos tienen distinto color. ¿ La teoría de Ramsey, llamada así por el matemático Frank P. Ramsey, es un área de las matemáticas que estudia las condiciones bajo las cuales un cierto orden debe aparecer. En pocas palabras, la teoría de Ramsey afirma que, en general, en sistemas lo suficientemente grandes siempre existen sub- sistemas estructurados. Un ejemplo de ello es el teorema de Schur, que nos afirma que en toda k-coloración del intervalo inicial de números enteros {1, 2, ..., n}, si n es lo suficientemente grande, siempre podremos encontrar una solución monocromática a la ecuación x + y = z. En contraste con la teoría de Ramsey que estudia la existencia de estructuras monocromáticas justificando así que el completo desorden es un imposible, la teoría anti-Ramsey estudia la existencia de estructuras heterocromáticas en universos coloreados, motivo por el cual se dice que en la teoría anti-Ramsey se busca demostrar que el perfecto orden es imposible también. En la teoría anti-Ramsey Aritmética, por lo general, se busca encontrar la estructura de las coloraciones, de grupos, en donde existan soluciones heterocromáticas a ecuaciones lineales. Un ejemplo de ello es encontrar la estructura de las coloraciones de Zp en donde existan soluciones heterocromáticas a la ecuación x + y = z. Para determinar la estructura de dichas coloraciones nos es necesario estudiar los conjuntos donde sus elementos satisfacen dicha ecuación, y para ello es más fácil estudiar el conjunto X + Y que los conjuntos X e Y por separado, es decir, resulta factible utilizar como herramienta la teoría Aditiva de Números . La teoría aditiva de números es el área de las matemáticas encargada de estudiar las características del conjunto suma de dos o más conjuntos de números. El conjunto suma de dos conjuntos A y B se define como A + B = {a + b | a ¿ A, b ¿ B}. Recientemente en la teoría Aditiva de Números se introdujo el concepto de trio, que facilitó el estudio de los conjuntos suma. Tres conjuntos A, B y C se dice que forman un trío si el 0 no pertenece a su conjunto suma, es decir, no pertenece a A + B + C . Todos los teoremas clásicos en la teoría aditiva de números se pueden reescribir utilizando este concepto de trío, facilitando sus demostraciones. El objetivo principal de esta tesis es encontrar una demostración alterna al teorema que describe las 3-coloraciones de Zp donde existen soluciones heterocromáticas a la ecuación x + y = z, utilizando como herramienta las nuevas versiones de los teoremas de la teoría de aditiva de números, bajo el concepto de trío . Este trabajo de tesis está dividido en seis capítulos. ¿ En el primer capítulo se estudia las propiedades básicas de las coloraciones; las propiedades básicas de Zp, que es el universo principal a colorear en esta tesis, y por último se introducen las estructuras que se quieren encontrar en las coloraciones. ¿ En el segundo capítulo se menciona la historia de la teoría de Ramsey así como sus teoremas más importantes. Después se enuncia y se demuestra el teorema de Schur que fue la principal motivación de este trabajo. Posteriormente se da una breve introducción a la teoría anti-Ramsey y por último se contrastan estas dos teorías, mencionando por qué no es posible encontrar un teorema análogo al teorema de Schur en la teoría anti-Ramsey. ¿ En el tercer capítulo se estudian los teoremas más importantes de la teoría anti-Ramsey aritmética en universos como ZN , N e intervalos de los números enteros. Se ve cómo es posible usar los teoremas de la teoría Aditiva de Números como herramienta en la demostración de algunos teoremas de la teoría anti-Ramsey Aritmética . ¿ En el cuarto capítulo se estudian teoremas importantes de la teoría Aditiva de Números. Se introduce el concepto de trío; se reformulan dichos teoremas bajo este concepto; se demuestra que estas dos versiones de los teoremas son equivalentes y por Último se dan las demostraciones, de algunos de ellos, en la versión trío. ¿ Finalmente en el quinto capítulo se da la prueba del teorema que nos describe a las 3-coloraciones de ZP en donde no existen soluciones heterocromáticas a la ecuación x + y = z, empleando los teoremas de la teoría aditiva de números en sus versiones con el concepto de trío.
URI:	https://ri-ng.uaq.mx/handle/123456789/6349
Otros identificadores :	1238 - RI002429.pdf
Aparece en:	Licenciatura en Matemáticas Aplicadas

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