Se adapta el método de series de potencias del parámetro espectral (SPPS) para encontrar la ecuación de dispersión en forma explícita asociada al operador de Sturm-Liouville Hu(x)=(P(x) u^' (x))^'+Q(x)u(x)=R(x)u(x) en todo el eje real. La ecuación de dispersión resulta ser de la forma ¿(¿)=0, donde ¿ es una función analítica dada por su serie de Taylor cuyos coeficientes no dependen del parámetro espectral. Esto permite aproximar los eigenvalores del problema mediante el cálculo de los ceros de un polinomio obtenido al truncar la serie involucrada en la ecuación de dispersión. Una de las ventajas de la técnica es que es aplicable a problemas que admitan eigenvalores complejos a diferencia de métodos disponibles como el de disparo. Una de las aplicaciones de la técnica propuesta se encuentra en el cálculo de los eigenvalores de la ecuación de Schrödinger con masa dependiente de la posición (PDM), la cual se utiliza para modelar el comportamiento de partículas dentro de nanoestructuras presentes en diversos dispositivos electrónicos, tales como diodos láser, transistores y celdas solares. Para probar la eficiencia de la técnica se construyen ejemplos exactamente solubles de la ecuación de Schrödinger con PDM mediante la transformación canónica puntual (PCT), los cuales son isospectrales a modelos clásicos con masa constante. También se considera un ejemplo de la ecuación de Schrödinger exactamente soluble cuyo potencial es del tipo Pöschl-Teller y cuyos eigenvalores son complejos. Se implementa un algoritmo en Matlab que permite calcular los eigenvalores de los ejemplos de prueba mediante la ecuación de dispersión obtenida y los compara con los resultados exactos a través del error absoluto. Los resultados obtenidos son muy precisos y muestran que la técnica propuesta es altamente competitiva y de gran alcance.
The spectral parameter power series method (SPPS) is adapted in order to find the dispersion equation in explicit form associated with the Sturm-Liouville operator Hu(x)=(P(x)u'(x))'+Q(x)u(x)=¿ R(x)u(x) on the real line. The dispersion equation is of the form ¿(¿)=0, where ¿ is an analytic function given by its Taylor series whose coefficients do not depend on the spectral parameter. This allows us to approximate the eigenvalues of the problem by means of computing the zeros of a polynomial obtained by cutting the series involved in the dispersion equation. One of the advantages of this technique is that it can be applied to problems that admit complex eigenvalues unlike other methods available as the shooting method. One of the applications of the proposed technique can be found in the calculation of the eigenvalues of the position dependent mass Schrödinger equation (PDM) which is used to model the behavior of particles inside nanostructures contained in several electronic devices such as laser diodes, transistors and solar cells. To test the efficiency of this technique some exactly solvable examples of the PDM Schrödinger equation are constructed by the point canonical transformation (PCT), these examples are isospectral to the classical models with constant mass. In addition an example with the exactly solvable Pöschl-Teller potential whose eigenvalues are complex is considered. An algorithm in Matlab is implemented that allows us to compute the eigenvalues of the test examples by the dispersion equation obtained and are compared with the exact values through the absolute error. The results obtained are very accurate and show that the proposed technique is highly competitive and of a great scope.
